Kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy

Krok 1. Rzut przekątnej na podstawę. Krawędź $CC_1$ jest prostopadła do podstawy, więc rzutem punktu $C_1$ jest $C$. Rzutem przekątnej $AC_1$ jest przekątna podstawy $AC$, a szukany kąt to $\alpha = \angle CAC_1$ w trójkącie prostokątnym $ACC_1$ (kąt prosty przy $C$).

Krok 2. Przekątna podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w prostokącie $3 \times 4$:

$|AC| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.$

Krok 3. Przekątna prostopadłościanu.

$|AC_1| = \sqrt{|AC|^2 + |CC_1|^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}.$

To samo daje wzór $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$.

Krok 4. Kąt. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{|CC_1|}{|AC|} = \frac{5}{5} = 1$, więc $\alpha = 45^\circ$. Trójkąt $ACC_1$ jest prostokątny i równoramienny.

Odpowiedź. $|AC_1| = 5\sqrt{2}$, $\alpha = 45^\circ$.