Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do podstawy

Krok 1. Spodek wysokości. W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości $O$ jest środkiem podstawy - tu środkiem kwadratu, czyli punktem przecięcia przekątnych. Rzutem krawędzi $SA$ na podstawę jest odcinek $AO$, a szukany kąt to $\alpha = \angle OAS$ w trójkącie prostokątnym $AOS$.

Krok 2. Długość AO - połowa przekątnej kwadratu:

$|AO| = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}.$

Krok 3. Kąt.

$\cos\alpha = \frac{|AO|}{|SA|} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 45^\circ.$

Krok 4. Wysokość. Trójkąt $AOS$ jest prostokątny i równoramienny (kąty $45^\circ$), więc $H = |SO| = |AO| = 4\sqrt{2}$. Sprawdzenie: $\sqrt{64 - 32} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Odpowiedź. $\alpha = 45^\circ$, $H = 4\sqrt{2}$.