Najtańsza trasa kabla przez rzekę - koszt z pierwiastkiem

Krok 1. Zmienna i dziedzina. Niech $x = |E'C|$ (w metrach). Punkt $C$ ma sens tylko na odcinku $E'F$, więc $x \in \langle 0;\ 1000\rangle$ - przedział domknięty: końce to realne trasy ($x = 0$ - najkrócej przez rzekę, $x = 1000$ - cały kabel pod wodą).

Krok 2. Funkcja celu. Z twierdzenia Pitagorasa odcinek pod wodą ma długość $|EC| = \sqrt{300^2 + x^2} = \sqrt{90000 + x^2}$, a na lądzie zostaje $1000 - x$:

$$K(x) = 65\sqrt{90000 + x^2} + 25(1000 - x), \qquad x \in \langle 0;\ 1000\rangle.$$

Krok 3. Pochodna. Pierwiastek różniczkujemy jak funkcję złożoną:

$$K'(x) = 65 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{90000 + x^2}} - 25 = \frac{65x}{\sqrt{90000 + x^2}} - 25.$$

Krok 4. Punkty krytyczne.

$$\frac{65x}{\sqrt{90000 + x^2}} = 25 \iff 13x = 5\sqrt{90000 + x^2}.$$

Obie strony są nieujemne (bo $x \geq 0$), więc wolno podnieść do kwadratu:

$$169x^2 = 25\left(90000 + x^2\right) \iff 144x^2 = 2\,250\,000 \iff x^2 = 15\,625.$$

Ponieważ $x \geq 0$, mamy $x = 125$ - liczba z przedziału $\langle 0;\ 1000\rangle$.

Krok 5. Porównanie z końcami przedziału. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje wartość najmniejszą w punkcie krytycznym albo na końcu:

• $K(0) = 65 \cdot 300 + 25 \cdot 1000 = 19\,500 + 25\,000 = 44\,500$ zł,
• $K(125) = 65\sqrt{90000 + 15625} + 25 \cdot 875$, czyli $65 \cdot 325 + 21\,875 = 21\,125 + 21\,875 = 43\,000$ zł,
• $K(1000) = 65\sqrt{1\,090\,000} \approx 67\,862$ zł.

Najmniejsza z tych liczb to $K(125)$. (To samo wynika ze znaku pochodnej: $K' < 0$ dla $x < 125$ i $K' > 0$ dla $x > 125$.)

Odpowiedź. Punkt $C$ trzeba wybrać $125$ m od $E'$ w stronę fabryki (pod wodą biegnie wtedy $325$ m kabla, brzegiem $875$ m). Najmniejszy koszt to $43\,000$ zł - o $1500$ zł mniej niż przy poprowadzeniu kabla najkrócej przez rzekę.

Pułapka. „Najkrótsza droga przez wodę” ($x = 0$) wydaje się oczywista, bo kabel pod wodą jest drogi - ale opłaca się trochę wydłużyć odcinek pod wodą, żeby skrócić odcinek na lądzie. Wynik $x = 125$ zależy tylko od szerokości rzeki i stosunku cen ($\frac{25}{65} = \frac{5}{13}$), a nie od odległości $1000$ m.