Sinus kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy

Krok 1. Przekątna. Ze wzoru na przekątną prostopadłościanu:

$d = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7.$

Krok 2. Przekątna podstawy - rzut przekątnej $BD_1$ na podstawę:

$|BD| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}.$

Krok 3. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym $BDD_1$ (przyprostokątne $\sqrt{13}$ i $6$, przeciwprostokątna $7$):

$\sin\alpha = \frac{6}{7}, \qquad \cos\alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}.$

Krok 4. Miara kąta. $\sin\alpha = \frac{6}{7} \approx 0{,}8571$. Z tablic $\sin 59^\circ \approx 0{,}8572$, więc $\alpha \approx 59^\circ$. Pułapka: $\frac{6}{7}$ to sinus, a nie tangens - naprzeciw kąta $\alpha$ leży wysokość, a przeciwprostokątną jest przekątna.

Odpowiedź. $d = 7$, $\sin\alpha = \frac{6}{7}$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{6\sqrt{13}}{13}$, $\alpha \approx 59^\circ$.