Lokata z kapitalizacją roczną - po ilu latach 6000 zł?

Krok 1. Wzór. Każdego roku kapitał rośnie o $4\%$, czyli jest mnożony przez $1{,}04$. Po $n$ latach:

$K(n) = 5000 \cdot 1{,}04^n.$

To funkcja wykładnicza o podstawie $1{,}04 > 1$ - rosnąca.

Krok 2. Warunek.

$5000 \cdot 1{,}04^n > 6000 \quad\Longrightarrow\quad 1{,}04^n > 1{,}2.$

Krok 3. Kolejne potęgi (z kalkulatora, w zaokrągleniu):

$1{,}04^3 \approx 1{,}1249, \qquad 1{,}04^4 \approx 1{,}1699, \qquad 1{,}04^5 \approx 1{,}2167.$

Pierwszy wykładnik, dla którego potęga przekracza $1{,}2$, to $n = 5$.

Krok 4. Kapitał. $K(4) \approx 5849{,}29$ zł (jeszcze za mało), $K(5) \approx 6083{,}26$ zł.

Dokładnie ten sam wynik daje logarytm: $n > \frac{\log 1{,}2}{\log 1{,}04} \approx 4{,}65$, więc najmniejsza liczba pełnych lat to $5$.

Odpowiedź. $K(n) = 5000 \cdot 1{,}04^n$; kapitał przekroczy $6000$ zł po $5$ latach (wyniesie wtedy około $6083{,}26$ zł).