Indukcja matematyczna - podzielność n³ + 2n przez 3

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). $1^3 + 2 \cdot 1 = 3$ - dzieli się przez $3$.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$ liczba $k^3 + 2k$ dzieli się przez $3$. Teza: $3 \mid (k + 1)^3 + 2(k + 1)$.

Krok 3. Dowód kroku. Rozwijamy wyrażenie dla $k + 1$ ze wzoru na sześcian sumy:

$(k + 1)^3 + 2(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2.$

Grupujemy składniki tak, by wydzielić wyrażenie z założenia:

$(k + 1)^3 + 2(k + 1) = \left(k^3 + 2k\right) + 3k^2 + 3k + 3 = \left(k^3 + 2k\right) + 3\left(k^2 + k + 1\right).$

Pierwszy nawias dzieli się przez $3$ z założenia, drugi składnik jest wielokrotnością $3$. Suma liczb podzielnych przez $3$ dzieli się przez $3$.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $3 \mid n^3 + 2n$ dla każdego $n \ge 1$. Na przykład $n = 4$: $64 + 8 = 72 = 3 \cdot 24$.