Główna › Zadania › Indukcja matematyczna › Podzielność › Indukcja matematyczna - podzielność 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹ przez 133 Indukcja matematyczna - podzielność 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹ przez 133 Szkoła średnia trudne
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1
g ( n ) = 11 n + 1 + 12 2 n − 1 g(n) = 11^{n + 1} + 12^{2n - 1} g ( n ) = 1 1 n + 1 + 1 2 2 n − 1
jest podzielna przez 133 133 133
Rozwiązanie Pokaż rozwiązanie krok po kroku Ukryj rozwiązanie Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). g ( 1 ) = 11 2 + 12 1 = 121 + 12 = 133 g(1) = 11^2 + 12^1 = 121 + 12 = 133 g ( 1 ) = 1 1 2 + 1 2 1 = 121 + 12 = 133 133 133 133
Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że 133 ∣ g ( k ) 133 \mid g(k) 133 ∣ g ( k ) k ≥ 1 k \ge 1 k ≥ 1 11 k + 1 + 12 2 k − 1 = 133 m 11^{k + 1} + 12^{2k - 1} = 133m 1 1 k + 1 + 1 2 2 k − 1 = 133 m m m m 133 ∣ g ( k + 1 ) 133 \mid g(k + 1) 133 ∣ g ( k + 1 )
g ( k + 1 ) = 11 k + 2 + 12 2 k + 1 . g(k + 1) = 11^{k + 2} + 12^{2k + 1}. g ( k + 1 ) = 1 1 k + 2 + 1 2 2 k + 1 .
Krok 3. Dowód kroku. Wyrażamy obie potęgi przez potęgi z założenia: 11 k + 2 = 11 ⋅ 11 k + 1 11^{k + 2} = 11 \cdot 11^{k + 1} 1 1 k + 2 = 11 ⋅ 1 1 k + 1 12 2 k + 1 = 12 2 ⋅ 12 2 k − 1 = 144 ⋅ 12 2 k − 1 12^{2k + 1} = 12^2 \cdot 12^{2k - 1} = 144 \cdot 12^{2k - 1} 1 2 2 k + 1 = 1 2 2 ⋅ 1 2 2 k − 1 = 144 ⋅ 1 2 2 k − 1
g ( k + 1 ) = 11 ⋅ 11 k + 1 + 144 ⋅ 12 2 k − 1 . g(k + 1) = 11 \cdot 11^{k + 1} + 144 \cdot 12^{2k - 1}. g ( k + 1 ) = 11 ⋅ 1 1 k + 1 + 144 ⋅ 1 2 2 k − 1 .
Rozbijamy 144 = 11 + 133 144 = 11 + 133 144 = 11 + 133
g ( k + 1 ) = 11 ( 11 k + 1 + 12 2 k − 1 ) + 133 ⋅ 12 2 k − 1 = 11 ⋅ 133 m + 133 ⋅ 12 2 k − 1 . g(k + 1) = 11\left(11^{k + 1} + 12^{2k - 1}\right) + 133 \cdot 12^{2k - 1} = 11 \cdot 133m + 133 \cdot 12^{2k - 1}. g ( k + 1 ) = 11 ( 1 1 k + 1 + 1 2 2 k − 1 ) + 133 ⋅ 1 2 2 k − 1 = 11 ⋅ 133 m + 133 ⋅ 1 2 2 k − 1 .
Wyłączamy 133 133 133
g ( k + 1 ) = 133 ( 11 m + 12 2 k − 1 ) . g(k + 1) = 133\left(11m + 12^{2k - 1}\right). g ( k + 1 ) = 133 ( 11 m + 1 2 2 k − 1 ) .
W nawiasie jest liczba całkowita, więc 133 ∣ g ( k + 1 ) 133 \mid g(k + 1) 133 ∣ g ( k + 1 )
Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej 133 ∣ 11 n + 1 + 12 2 n − 1 133 \mid 11^{n+1} + 12^{2n-1} 133 ∣ 1 1 n + 1 + 1 2 2 n − 1 n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1
Cały trik to rozbicie 144 = 11 + 133 144 = 11 + 133 144 = 11 + 133 11 11 11 133 133 133
Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →
Podobne zadania 