Oszczędzanie: wpłata 100 zł, każda następna o 5% większa - ile po roku?

Krok 1. Model. Wpłaty $100$, $105$, $110{,}25$, … tworzą ciąg geometryczny: $a_1 = 100$, $q = 1{,}05$. Kwota w skarbonce po $n$ miesiącach to suma $S_n$:

$S_n = 100 \cdot \frac{1{,}05^n - 1}{1{,}05 - 1} = 2000 \cdot (1{,}05^n - 1)$

Krok 2. Po 12 miesiącach. $1{,}05^{12} \approx 1{,}795856$, więc

$S_{12} = 2000 \cdot 0{,}795856 \approx 1591{,}71$

Ostatnia, dwunasta wpłata wynosi $100 \cdot 1{,}05^{11} \approx 171{,}03$ zł.

Krok 3. Próg 2000 zł. Warunek $2000(1{,}05^n - 1) > 2000$ oznacza $1{,}05^n > 2$. Liczymy kolejne potęgi:

$1{,}05^{14} \approx 1{,}9799 < 2, \qquad 1{,}05^{15} \approx 2{,}0789 > 2$

Zatem $S_{14} \approx 1959{,}86$ zł, a $S_{15} \approx 2157{,}86$ zł.

Odpowiedź. a) Po $12$ miesiącach w skarbonce będzie $1591{,}71$ zł. b) W piętnastym miesiącu.

Dla porównania: przy stałej wpłacie $100$ zł po roku byłoby $1200$ zł, a próg $2000$ zł pękłby dopiero w dwudziestym pierwszym miesiącu. Tutaj pieniądze nie rosną same (skarbonka nie daje odsetek) - rośnie wpłata. O odsetkach mówi lekcja procent składany, lokaty i kredyty.