Oblicz sumę 1 + 1/3 + 1/9 + … + 1/729

Krok 1. Ciąg. Każdy składnik to poprzedni pomnożony przez $\frac{1}{3}$, więc jest to ciąg geometryczny z $a_1 = 1$ i $q = \frac{1}{3}$.

Krok 2. Liczba wyrazów. $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{729} = \frac{1}{3^6}$, więc $n - 1 = 6$ i $n = 7$.

Krok 3. Suma. Przy $q < 1$ wygodna jest postać z $1 - q$:

$S_7 = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^7}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{2187}}{\frac{2}{3}} = \frac{2186}{2187} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1093}{729}$

Odpowiedź. $\dfrac{1093}{729}$ (czyli $1\frac{364}{729} \approx 1{,}4993$).

Pułapka: wyrazów jest $7$, a nie $6$ - mianownik $729 = 3^6$ ma wykładnik o jeden mniejszy od numeru wyrazu. Suma jest bliska $1{,}5$; w lekcji o szeregu geometrycznym zobaczysz, że dodając nieskończenie wiele takich wyrazów, dostaje się dokładnie $\frac{3}{2}$.