Oblicz sumę (2 + 1) + (4 + 2) + (8 + 3) + … + (1024 + 10)

Krok 1. Wyraz ogólny. $k$-ty składnik to $2^k + k$: $2^1 + 1$, $2^2 + 2$, …, $2^{10} + 10$ (bo $1024 = 2^{10}$). Składników jest więc $10$.

Ciąg $b_k = 2^k + k$ nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny ($3, 6, 11, 20, \ldots$), ale jest sumą dwóch takich ciągów. Dzięki przemienności dodawania sumy liczymy osobno.

Krok 2. Część geometryczna. $2 + 4 + 8 + \ldots + 1024$: $a_1 = 2$, $q = 2$, $n = 10$.

$2 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2 \cdot 1023 = 2046$

Krok 3. Część arytmetyczna. $1 + 2 + \ldots + 10$:

$\frac{1 + 10}{2} \cdot 10 = 55$

Krok 4. Wynik. $2046 + 55 = 2101$.

Odpowiedź. Suma wynosi $2101$.

Ten chwyt - rozdzielenie sumy na „część geometryczną” i „część arytmetyczną” - działa zawsze, gdy wyraz ma postać $a \cdot q^k + (b + ck)$.