a₁ = 4 i S₃ = 52: wyznacz iloraz ciągu geometrycznego

Krok 1. Suma trzech wyrazów. Przy małym $n$ prościej zapisać sumę wprost:

$S_3 = a_1 + a_1q + a_1q^2 = 4(1 + q + q^2)$

Krok 2. Równanie.

$4(1 + q + q^2) = 52 \quad\Longrightarrow\quad q^2 + q + 1 = 13 \quad\Longrightarrow\quad q^2 + q - 12 = 0$

$(q - 3)(q + 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad q = 3 \ \text{ lub } \ q = -4$

Krok 3. Sprawdzenie obu rozwiązań.

• $q = 3$: wyrazy $4, 12, 36$; suma $52$;
• $q = -4$: wyrazy $4, -16, 64$; suma $4 - 16 + 64 = 52$.

Odpowiedź. $q = 3$ (wyrazy $4, 12, 36$) lub $q = -4$ (wyrazy $4, -16, 64$).

Wzór z ułamkiem $\frac{1 - q^3}{1 - q}$ prowadzi do tego samego równania, bo $1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)$, ale wymaga założenia $q \neq 1$ i dodatkowego skracania.