Stosunek pola bocznego do pola podstawy stożka 17 : 8 - objętość

Krok 1. Stosunek pól to stosunek tworzącej do promienia.

$$\frac{P_b}{P_p} = \frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{l}{r} = \frac{17}{8}.$$

Można więc zapisać $l = 17k$ i $r = 8k$ dla pewnego $k > 0$.

Krok 2. Wysokość wyznacza $k$. Z twierdzenia Pitagorasa

$$H^2 = l^2 - r^2 = 289k^2 - 64k^2 = 225k^2 \quad\Longrightarrow\quad H = 15k.$$

Skoro $H = 15$, to $k = 1$, czyli $r = 8$ i $l = 17$.

Krok 3. Objętość i pole.

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 15 = 320\pi, \qquad P_c = \pi r^2 + \pi r l = 64\pi + 136\pi = 200\pi.$$

Krok 4. Kąt nachylenia tworzącej. $\cos\alpha = \frac{r}{l} = \frac{8}{17}$. Zauważ, że to odwrotność danego stosunku pól: $\frac{P_p}{P_b} = \cos\alpha$ w każdym stożku.

Odpowiedź. $V = 320\pi$, $P_c = 200\pi$, $\cos\alpha = \frac{8}{17}$.

Wzory na pola stożka wyprowadza lekcja stożek.