Podział osób na grupy i do pokoi - kiedy dzielić przez k!?

Krok 1. Pokoje są rozróżnialne. Wystarczy wybrać, kto śpi w pokoju niebieskim - reszta idzie do zielonego:

$$\binom{8}{4} = 70.$$

Krok 2. Drużyny są nierozróżnialne. Oznaczmy osoby literami $A, B, \ldots, H$. Wybór „pierwsza drużyna $ABCD$, druga $EFGH$” i wybór „pierwsza $EFGH$, druga $ABCD$” to ten sam podział, bo drużyny niczym się nie różnią. Liczba $70$ liczy więc każdy podział dwa razy - tyle, ile jest sposobów ustawienia $2$ drużyn w kolejności ($2! = 2$):

$$\frac{\binom{8}{4}}{2!} = \frac{70}{2} = 35.$$

Sprawdzenie. Osoba $A$ jest w jakiejś drużynie. Wystarczy wybrać jej $3$ towarzyszy spośród $7$ pozostałych: $\binom{7}{3} = 35$. Zgadza się.

Krok 3. Trzy zespoły - najpierw jakby były ponumerowane. Wybieramy zespół nr 1, potem nr 2, a reszta tworzy zespół nr 3:

$$\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{3} \cdot \binom{3}{3} = 84 \cdot 20 \cdot 1 = 1680.$$

Krok 4. Zdejmujemy numery. Ten sam podział na trzy zespoły daje się ponumerować na $3! = 6$ sposobów, więc każdy podział policzyliśmy $6$ razy:

$$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280.$$

Reguła na przyszłość. Gdy grupy są równoliczne i nierozróżnialne, dzielimy wynik przez $k!$, gdzie $k$ to liczba grup. Gdy grupy różnią się czymś (pokój, kolor, nazwa, różna liczebność), nie dzielimy.

Odpowiedź. a) $70$ sposobów; b) $35$ sposobów; c) $280$ sposobów.