Ekstrema funkcji z pierwiastkiem x√(8 − x²) - dziedzina i końce

Krok 1. Dziedzina. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:

$$8 - x^2 \geq 0 \iff x^2 \leq 8 \iff x \in \langle -2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2}\rangle$$

Krok 2. Pochodna (dla $-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$). Z reguły iloczynu i pochodnej funkcji złożonej $\left(\sqrt{8 - x^2}\right)' = \frac{-2x}{2\sqrt{8 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{8 - x^2}}$:

$$f'(x) = \sqrt{8 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{8 - x^2}} = \frac{(8 - x^2) - x^2}{\sqrt{8 - x^2}} = \frac{8 - 2x^2}{\sqrt{8 - x^2}} = \frac{2(2 - x)(2 + x)}{\sqrt{8 - x^2}}$$

W końcach dziedziny $x = \pm 2\sqrt{2}$ pochodna nie istnieje (zero w mianowniku).

Krok 3. Punkty krytyczne. Licznik zeruje się dla $x = -2$ i $x = 2$; oba leżą we wnętrzu dziedziny, bo $2 < 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$.

Krok 4. Znak pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc znak $f'$ to znak $2(4 - x^2)$: dodatni dla $|x| < 2$, ujemny dla $2 < |x| < 2\sqrt{2}$. Kontrola: $f'(0) = \frac{8}{\sqrt{8}} = 2\sqrt{2} > 0$.

Krok 5. Wartości ekstremów.

$$f(-2) = -2\sqrt{8 - 4} = -2 \cdot 2 = -4, \qquad f(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Krok 6. A co z końcami dziedziny? W punktach $x = \pm 2\sqrt{2}$ funkcja przyjmuje wartość $0$, ale ekstremum lokalne wymaga otoczenia punktu zawartego w dziedzinie - a na prawo od $2\sqrt{2}$ (i na lewo od $-2\sqrt{2}$) funkcja nie jest określona. Końce dziedziny nie są więc ekstremami lokalnymi.

Odpowiedź. Minimum lokalne w $x = -2$ równe $-4$, maksimum lokalne w $x = 2$ równe $4$.

Przy okazji: funkcja jest nieparzysta ($f(-x) = -f(x)$), stąd symetryczne położenie ekstremów. Na całej dziedzinie są to też wartość najmniejsza i największa, więc zbiór wartości to $\langle -4;\ 4\rangle$.