Pole trójkąta odciętego przez styczną do hiperboli y = 6/x - zawsze 12

Krok 1. Pochodna. $f(x) = 6x^{-1}$, więc

$$f'(x) = -6x^{-2} = -\frac{6}{x^2}.$$

Krok 2. Styczna w $P(2, 3)$. $f(2) = 3$ (punkt leży na wykresie), $f'(2) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$:

$$y = -\frac{3}{2}(x - 2) + 3 = -\frac{3}{2}x + 6.$$

Krok 3. Punkty przecięcia z osiami. Dla $x = 0$: $y = 6$, czyli punkt $(0, 6)$. Dla $y = 0$: $\frac{3}{2}x = 6$, czyli $x = 4$ i punkt $(4, 0)$.

Krok 4. Pole w części a). Trójkąt ma wierzchołki $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(0, 6)$ - jest prostokątny o przyprostokątnych $4$ i $6$:

$$P_\triangle = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12.$$

Krok 5. Styczna w dowolnym punkcie. Weźmy punkt styczności $\left(a, \frac{6}{a}\right)$, $a > 0$. Wtedy $f'(a) = -\frac{6}{a^2}$ i

$$y = -\frac{6}{a^2}(x - a) + \frac{6}{a} = -\frac{6}{a^2}x + \frac{12}{a}.$$

Krok 6. Przecięcia z osiami. Dla $x = 0$: $y = \frac{12}{a}$. Dla $y = 0$: $\frac{6}{a^2}x = \frac{12}{a}$, czyli $x = 2a$. Obie liczby są dodatnie, więc trójkąt leży w pierwszej ćwiartce.

Krok 7. Pole w części b).

$$P_\triangle = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{12}{a} = 12.$$

Parametr $a$ się skraca - pole nie zależy od wyboru punktu styczności, co kończy dowód.

Krok 8. Ciekawostka. Odcinek stycznej między osiami ma końce $(2a, 0)$ i $\left(0, \frac{12}{a}\right)$, a jego środek to $\left(a, \frac{6}{a}\right)$ - dokładnie punkt styczności. Dla $y = \frac{k}{x}$ ($k > 0$) to samo rozumowanie daje pole $2k$.

Odpowiedź. a) $y = -\frac{3}{2}x + 6$, pole trójkąta wynosi $12$. b) Dla stycznej w punkcie $\left(a, \frac{6}{a}\right)$ trójkąt ma przyprostokątne $2a$ i $\frac{12}{a}$, więc jego pole zawsze wynosi $12$.