Po ilu miesiącach lokata z kapitalizacją miesięczną wzrośnie o 20%? Logarytm

Krok 1. Oprocentowanie miesięczne. Przy kapitalizacji miesięcznej co miesiąc dopisuje się $\frac{3{,}6\%}{12} = 0{,}3\%$, więc kapitał mnoży się przez $q = 1{,}003$. Po $n$ miesiącach:

$K_n = 10\,000 \cdot 1{,}003^{n}.$

Krok 2. Nierówność.

$10\,000 \cdot 1{,}003^{n} \geq 12\,000 \quad\Longrightarrow\quad 1{,}003^{n} \geq 1{,}2.$

Krok 3. Logarytmujemy. Obie strony są dodatnie, a logarytm dziesiętny jest rosnący, więc znak zostaje. $\log 1{,}003 > 0$, więc dzielenie przez niego też go nie zmienia:

$n \geq \frac{\log 1{,}2}{\log 1{,}003} \approx \frac{0{,}079181}{0{,}0013009} \approx 60{,}86.$

Uwaga na dokładność: $\log 1{,}003$ to bardzo mała liczba. Zaokrąglona do $0{,}001$ dałaby wynik $79$ - zupełnie błędny. Logarytmy bierz z kalkulatora z pełną dokładnością.

Krok 4. Sprawdzenie sąsiednich miesięcy.

$K_{60} = 10\,000 \cdot 1{,}003^{60} \approx 11\,968{,}95 \text{ zł} < 12\,000 \text{ zł}, \qquad K_{61} \approx 12\,004{,}85 \text{ zł}.$

Odpowiedź. Po $61$ pełnych miesiącach (5 lat i 1 miesiąc) - na lokacie będzie wtedy około $12\,004{,}85$ zł.