Kostka wybiera urnę, losujemy dwie kule - prawdopodobieństwo, że obie są białe

Krok 1. Pierwszy etap. Urna I: $P = \tfrac{1}{6}$, urna II: $P = \tfrac{5}{6}$.

Krok 2. Drugi etap - prawdopodobieństwo dwóch białych w każdej urnie. Obie urny mają po $6$ kul, więc par kul jest $\binom{6}{2} = 15$.

• Urna I: par białych jest $\binom{5}{2} = 10$, czyli $\tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3}$.
• Urna II: para białych jest jedna, $\binom{2}{2} = 1$, czyli $\tfrac{1}{15}$.

Krok 3. Gałęzie sprzyjające. Niech $A$ - „obie kule białe”:

• szóstka → urna I → dwie białe: $\tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{9}$,
• inny wynik → urna II → dwie białe: $\tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{1}{15} = \tfrac{1}{18}$.

Krok 4. Suma.

$P(A) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}.$

Uwaga o pułapce. Liczenie „dwie białe” w urnie II jako $\left(\tfrac{2}{6}\right)^2 = \tfrac{1}{9}$ zakłada losowanie ze zwracaniem. Kule losujemy jednocześnie, więc potrzebne są kombinacje (albo iloczyn $\tfrac{2}{6} \cdot \tfrac{1}{5}$).

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{1}{6}$.