Objętość czworościanu foremnego o krawędzi 6 - wysokość i wzór a³√2/12

Krok 1. Spodek wysokości. Wszystkie krawędzie boczne są równe, więc spodek $O$ wysokości jest środkiem trójkąta równobocznego $ABC$:

$|AO| = \frac{a\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$

Krok 2. Wysokość. W trójkącie prostokątnym $AOD$ krawędź $AD = 6$ jest przeciwprostokątną:

$H = \sqrt{6^2 - \left(2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{36 - 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.$

Ogólnie $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Krok 3. Objętość. Pole podstawy to $\frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$:

$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}5.$

Sprawdzenie wzorem ogólnym: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2}$.

Odpowiedź. $H = 2\sqrt{6}$, $V = 18\sqrt{2} \approx 25{,}5$.