Ciąg geometryczny o sumie 26 - po zwiększeniu środkowego wyrazu o 4 arytmetyczny

Krok 1. Oznaczenia. Liczby to $a,\ aq,\ aq^2$ (przy $a \neq 0$, $q \neq 0$). Warunki:

$a(1 + q + q^2) = 26 \qquad\text{oraz}\qquad 2(aq + 4) = a + aq^2$

Krok 2. Porządkujemy drugi warunek:

$a q^2 - 2aq + a = 8 \quad\Longrightarrow\quad a(q - 1)^2 = 8$

Stąd $q \neq 1$, więc wolno podzielić pierwsze równanie przez drugie.

Krok 3. Dzielimy stronami:

$\frac{1 + q + q^2}{(q - 1)^2} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} \quad\Longrightarrow\quad 4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13$

$9q^2 - 30q + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3q^2 - 10q + 3 = 0$

$\Delta = 100 - 36 = 64$, więc $q = \frac{10 + 8}{6} = 3$ lub $q = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$.

Krok 4. Pierwszy wyraz z $a(q - 1)^2 = 8$. Dla $q = 3$: $a = \frac{8}{4} = 2$, liczby $2,\ 6,\ 18$. Dla $q = \frac{1}{3}$: $a = 8 : \frac{4}{9} = 18$, liczby $18,\ 6,\ 2$.

Krok 5. Sprawdzenie. Suma $2 + 6 + 18 = 26$. Po zmianie: $2,\ 10,\ 18$ - różnica $8$ (i odwrotnie $18,\ 10,\ 2$ - różnica $-8$).

Odpowiedź. $2,\ 6,\ 18$ albo $18,\ 6,\ 2$.