Dla jakiego x liczby x − 1, x + 3, 3x + 1 tworzą ciąg arytmetyczny, a dla jakiego geometryczny?

Krok 1. Ciąg arytmetyczny. Warunek $2b = a + c$:

$2(x + 3) = (x - 1) + (3x + 1) \quad\Longrightarrow\quad 2x + 6 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x = 3$

Wyrazy: $2,\ 6,\ 10$ - różnica $4$.

Krok 2. Ciąg geometryczny. Warunek $b^2 = ac$:

$(x + 3)^2 = (x - 1)(3x + 1) \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1$

$2x^2 - 8x - 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x - 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 5)(x + 1) = 0$

Krok 3. Sprawdzenie obu rozwiązań. Dla $x = 5$: $4,\ 8,\ 16$ - iloraz $2$. Dla $x = -1$: $-2,\ 2,\ -2$ - iloraz $-1$. Żaden wyraz nie jest zerem, więc oba ciągi są geometryczne.

Odpowiedź. a) $x = 3$. b) $x = 5$ lub $x = -1$.