Wyrazy a₂, a₅, a₁₄ ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny - wyznacz r i q

Krok 1. Wyrazy przez $r$. Ze wzoru $a_n = a_1 + (n - 1)r$:

$a_2 = 1 + r, \qquad a_5 = 1 + 4r, \qquad a_{14} = 1 + 13r$

Krok 2. Warunek ciągu geometrycznego $a_5^2 = a_2 \cdot a_{14}$:

$(1 + 4r)^2 = (1 + r)(1 + 13r) \quad\Longrightarrow\quad 1 + 8r + 16r^2 = 1 + 14r + 13r^2$

$3r^2 - 6r = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3r(r - 2) = 0$

Krok 3. $r = 0$ odpada z treści, więc $r = 2$.

Krok 4. Iloraz. $a_2 = 3$, $a_5 = 9$, $a_{14} = 27$, więc $q = \frac{9}{3} = 3$.

Odpowiedź. $r = 2$, $q = 3$.

Uwaga: dla $r = 0$ ciąg byłby stały ($1,\ 1,\ 1$) i warunek też by zachodził - dlatego w treści jest zastrzeżenie $r \neq 0$.