Trzy liczby o sumie 21 tworzą ciąg arytmetyczny, po zmianie - geometryczny

Krok 1. Oznaczenia. Liczby zapisujemy jako $a - r,\ a,\ a + r$. Ich suma to $3a = 21$, więc $a = 7$, a liczby to $7 - r,\ 7,\ 7 + r$.

Krok 2. Liczby po zmianie: $9 - r,\ 8,\ 11 + r$. Warunek ciągu geometrycznego:

$8^2 = (9 - r)(11 + r) \quad\Longrightarrow\quad 64 = 99 - 2r - r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 + 2r - 35 = 0$

Krok 3. $\Delta = 4 + 140 = 144$, więc

$r = \frac{-2 - 12}{2} = -7 \qquad\text{lub}\qquad r = \frac{-2 + 12}{2} = 5$

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $r = 5$: liczby $2,\ 7,\ 12$, po zmianie $4,\ 8,\ 16$ (iloraz $2$). Dla $r = -7$: liczby $14,\ 7,\ 0$, po zmianie $16,\ 8,\ 4$ (iloraz $\frac{1}{2}$).

Odpowiedź. $2,\ 7,\ 12$ albo $14,\ 7,\ 0$.

Uwaga: zero w drugiej trójce nie przeszkadza - w ciąg geometryczny układają się liczby po zmianie, a te są niezerowe.