Iloczyn trzech wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 216 - wyrazy a₁, a₂, a₄ arytmetycznego

Krok 1. Oznaczenia. Liczby to $\frac{a}{q},\ a,\ aq$. Iloczyn:

$\frac{a}{q} \cdot a \cdot aq = a^3 = 216 \quad\Longrightarrow\quad a = 6$

Liczby to $\frac{6}{q},\ 6,\ 6q$.

Krok 2. Ciąg arytmetyczny. Jeśli $b_1 = \frac{6}{q}$ i różnica wynosi $r$, to $b_2 = b_1 + r = 6$ i $b_4 = b_1 + 3r = 6q$. Z pierwszego $r = 6 - \frac{6}{q}$, więc

$6q = \frac{6}{q} + 3\left(6 - \frac{6}{q}\right) = 18 - \frac{12}{q}$

Krok 3. Mnożymy przez $q \neq 0$:

$6q^2 = 18q - 12 \quad\Longrightarrow\quad q^2 - 3q + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (q - 1)(q - 2) = 0$

Krok 4. Dwa przypadki. Dla $q = 2$: liczby $3,\ 6,\ 12$; ciąg arytmetyczny $3,\ 6,\ 9,\ 12$ o różnicy $3$ ma właśnie takie wyrazy $b_1,\ b_2,\ b_4$. Dla $q = 1$: liczby $6,\ 6,\ 6$ - ciąg arytmetyczny stały o różnicy $0$.

Odpowiedź. $3,\ 6,\ 12$ albo $6,\ 6,\ 6$.

Uwaga: jeśli w treści byłoby „niestały ciąg arytmetyczny”, zostaje tylko $3,\ 6,\ 12$.