Przekątna trapezu równoramiennego o podstawach 21 i 9 i ramieniu 10

Krok 1. Rzut ramienia. Opuszczamy wysokość $CE$ na podstawę $AB$. W trapezie równoramiennym wysokości z obu końców krótszej podstawy odcinają po bokach dwa równe odcinki, razem $21 - 9 = 12$:

$$|EB| = \frac{21 - 9}{2} = 6.$$

Krok 2. Wysokość z trójkąta prostokątnego $EBC$:

$$h = |CE| = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8.$$

Krok 3. Przekątna. Odcinek $AE$ to podstawa bez odciętego kawałka:

$$|AE| = 21 - 6 = 15 = \frac{21 + 9}{2}.$$

Przekątna $AC$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $AEC$:

$$d = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17.$$

W trapezie równoramiennym obie przekątne są równe, więc także $|BD| = 17$.

Krok 4. Pole i obwód.

$$P = \frac{21 + 9}{2} \cdot 8 = 120, \qquad L = 21 + 9 + 2 \cdot 10 = 50.$$

Ciekawostka: $|AE|$ wyszło równe linii środkowej $\frac{a + b}{2}$. W trapezie równoramiennym przekątna jest więc zawsze przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych „linia środkowa” i „wysokość”: $d^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 + h^2$.

Częsty błąd: wzięcie za przyprostokątną całej podstawy $21$ zamiast $15$.

Odpowiedź. Wysokość wynosi $8$, przekątne mają długość $17$, pole $120$, a obwód $50$.