Odległość wierzchołka prostopadłościanu od przekątnej podstawy

Krok 1. Plan. Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego do tej prostej. Najpierw szukamy spodka $E$ wysokości trójkąta $ABD$ poprowadzonej z $A$ - to rzut szukanego odcinka na podstawę.

Krok 2. Wysokość AE trójkąta prostokątnego ABD. Kąt przy $A$ jest prosty, a przeciwprostokątna to

$|BD| = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25.$

Pole trójkąta liczymy na dwa sposoby: $\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot |AE|$, skąd

$|AE| = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12.$

Krok 3. Trzy proste prostopadłe. $AA_1$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, $A_1E$ to ukośna, a $AE$ - jej rzut na podstawę. Ponieważ $AE \perp BD$, z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych także $A_1E \perp BD$. Szukana odległość to $|A_1E|$.

Krok 4. Trójkąt prostokątny AEA₁ (kąt prosty przy $A$):

$|A_1E| = \sqrt{|AA_1|^2 + |AE|^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15.$

Odpowiedź. Odległość wierzchołka $A_1$ od prostej $BD$ wynosi $15$.