Szacowanie: wykaż, że 4 < 3^√2 < 6

Krok 1. Oszacowanie wykładnika. $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$, bo $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2$ oraz $1{,}5^2 = 2{,}25 > 2$.

Krok 2. Monotoniczność. Podstawa $3 > 1$, więc funkcja $3^x$ jest rosnąca i nierówności między wykładnikami przenoszą się na potęgi:

$3^{1{,}4} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{1{,}5}.$

Krok 3. Lewa strona: $3^{1{,}4} > 4$. Mamy $3^{1{,}4} = 3^{7/5}$. Obie strony nierówności $3^{7/5} > 4$ są dodatnie, więc można je podnieść do potęgi piątej:

$3^{7} > 4^{5} \quad\Longleftrightarrow\quad 2187 > 1024 - \text{prawda}.$

Krok 4. Prawa strona: $3^{1{,}5} < 6$. $3^{1{,}5} = 3 \cdot 3^{1/2} = 3\sqrt{3}$, a $3\sqrt{3} < 6 \iff \sqrt{3} < 2 \iff 3 < 4$ - prawda.

Krok 5. Wniosek. $4 < 3^{1{,}4} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{1{,}5} < 6$, co należało wykazać. (Dla porównania: $3^{\sqrt{2}} \approx 4{,}73$.)