Porównywanie potęg o wykładniku niewymiernym

Zasada. Przy tej samej podstawie decyduje wykładnik oraz to, czy podstawa jest większa, czy mniejsza od $1$:

• dla $a > 1$ większy wykładnik daje większą potęgę (funkcja $a^x$ rośnie);
• dla $0 < a < 1$ większy wykładnik daje mniejszą potęgę (funkcja $a^x$ maleje).

a) $\sqrt{2} \approx 1{,}414 < 1{,}5$, bo $1{,}5^2 = 2{,}25 > 2$. Podstawa $2 > 1$, więc

$2^{\sqrt{2}} < 2^{1{,}5}.$

b) $\sqrt{3} \approx 1{,}732 > 1{,}7$, bo $1{,}7^2 = 2{,}89 < 3$. Podstawa $0{,}5 < 1$, więc nierówność między potęgami ma odwrotny kierunek:

$\left(0{,}5\right)^{\sqrt{3}} < \left(0{,}5\right)^{1{,}7}.$

Odpowiedź. a) $2^{\sqrt{2}} < 2^{1{,}5}$; b) $\left(0{,}5\right)^{\sqrt{3}} < \left(0{,}5\right)^{1{,}7}$.