Losowy kod PIN - prawdopodobieństwo, że wszystkie cztery cyfry są różne

Krok 1. Przestrzeń. Na każdej z $4$ pozycji jest $10$ możliwości (wariacje z powtórzeniami):

$|\Omega| = 10^4 = 10\,000.$

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające. Niech $A$ - „cyfry są różne”. Pierwszą cyfrę wybieramy na $10$ sposobów, drugą na $9$ (bez pierwszej), trzecią na $8$, czwartą na $7$:

$|A| = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040.$

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = \frac{5040}{10\,000} = \frac{63}{125} = 0{,}504.$

Wniosek. Prawie połowa kodów ($1 - 0{,}504 = 0{,}496$) ma co najmniej jedną powtórzoną cyfrę - to ten sam efekt co w paradoksie urodzin: powtórzenia są częstsze, niż podpowiada intuicja.

Uwaga o pułapce. Liczenie $|A| = \binom{10}{4} = 210$ gubi kolejność cyfr: kody $1234$ i $4321$ to różne PIN-y.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{63}{125} = 0{,}504$.