Dowodzenie: 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3) jest liczbą całkowitą

Krok 1. Usuwamy niewymierność z pierwszego ułamka. Mnożymy przez sprzężenie $2 - \sqrt{3}$; mianownik ze wzoru $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$

Krok 2. Usuwamy niewymierność z drugiego ułamka (sprzężenie $2 + \sqrt{3}$):

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}.$

Krok 3. Dodajemy oba wyniki. Składniki $-\sqrt{3}$ i $+\sqrt{3}$ znoszą się:

$\left(2 - \sqrt{3}\right) + \left(2 + \sqrt{3}\right) = 4.$

Wniosek. Otrzymaliśmy $4$ - liczbę całkowitą.

Odpowiedź. Liczba jest równa $4$, więc jest całkowita. $\blacksquare$