Ile liczb od 1 do 100 jest podzielnych przez 2 lub przez 3 - diagram Venna

Szkoła średnia średnie

Ze zbioru $\{1, 2, \ldots, 100\}$ losujemy jedną liczbę. Niech $A$ - „liczba jest podzielna przez $2$ ”, $B$ - „liczba jest podzielna przez $3$ ”. Oblicz $|A \cup B|$ oraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu „wylosowana liczba nie jest podzielna ani przez $2$ , ani przez $3$ ”.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Liczymy A i B. Wielokrotności $2$ do $100$ : $2, 4, \ldots, 100$ - jest ich $50$ . Wielokrotności $3$ : $3, 6, \ldots, 99$ - jest ich $33$ (bo $3 \cdot 33 = 99$ ).

$|A| = 50, \qquad |B| = 33.$

Krok 2. Liczymy iloczyn. Liczba podzielna przez $2$ i przez $3$ jest podzielna przez $6$ : $6, 12, \ldots, 96$ , czyli

$|A \cap B| = 16 \qquad (6 \cdot 16 = 96).$

Krok 3. Wzór na liczbę elementów sumy. Dodając $|A| + |B|$ , liczbę $6, 12, \ldots$ liczymy dwa razy - raz w $A$ , raz w $B$ . Dlatego odejmujemy iloczyn:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 50 + 33 - 16 = 67.$

Krok 4. Diagram Venna. Rozkładamy $100$ liczb na cztery rozłączne obszary: tylko $A$ : $50 - 16 = 34$ , oba: $16$ , tylko $B$ : $33 - 16 = 17$ , poza obydwoma: $100 - 67 = 33$ .

Liczby od 1 do 100: A - podzielne przez 2, B - podzielne przez 3. W części wspólnej są wielokrotności 6.

Krok 5. Ani przez 2, ani przez 3. To zdarzenie przeciwne do sumy, $(A \cup B)' = A' \cap B'$ :

$|(A \cup B)'| = 100 - 67 = 33.$

Uwaga o pułapce. Wynik $50 + 33 = 83$ jest za duży o $16$ - to dokładnie liczby podzielne przez $6$ , policzone dwukrotnie.

Odpowiedź. $|A \cup B| = 67$ ; liczb niepodzielnych ani przez $2$ , ani przez $3$ jest $33$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →