Zawieranie się zdarzeń A ⊂ B - podzielność przez 6 i przez 3

Krok 1. Wypisujemy zdarzenia.

$A = \{6, 12, 18, 24, 30\}, \qquad B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}.$

Krok 2. Uzasadnienie A ⊂ B. Jeśli liczba $n$ jest podzielna przez $6$, to $n = 6k = 3 \cdot 2k$, więc jest podzielna przez $3$. Każdy element $A$ należy do $B$ - zajście $A$ pociąga zajście $B$. Odwrotnie nie: $9 \in B$, ale $9 \notin A$.

Krok 3. Działania przy zawieraniu. Gdy $A \subset B$, suma i iloczyn dają gotowe wyniki:

$A \cup B = B, \qquad A \cap B = A.$

Krok 4. Różnice. $A \setminus B$ to elementy $A$ spoza $B$ - takich nie ma:

$A \setminus B = \varnothing.$

$B \setminus A$ to liczby podzielne przez $3$, ale nie przez $6$, czyli nieparzyste wielokrotności trójki:

$B \setminus A = \{3, 9, 15, 21, 27\}, \qquad |B \setminus A| = |B| - |A| = 10 - 5 = 5.$

Uwaga. Wzór $|B \setminus A| = |B| - |A|$ działa tylko wtedy, gdy $A \subset B$. W ogólnym przypadku $|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$.

Odpowiedź. a) Każda wielokrotność $6$ jest wielokrotnością $3$, więc $A \subset B$. b) $A \cup B = B$, $A \cap B = A$, $A \setminus B = \varnothing$, $B \setminus A = \{3, 9, 15, 21, 27\}$.