Ilu uczniów nie gra w nic? Diagram Venna z dwoma zdarzeniami

Szkoła średnia średnie

W klasie jest $30$ uczniów. W piłkę nożną gra $18$ z nich, w siatkówkę $12$ , a w obie gry $7$ . Losujemy jednego ucznia. Niech $A$ - „uczeń gra w piłkę nożną”, $B$ - „uczeń gra w siatkówkę”.

a) Ilu uczniów sprzyja zdarzeniu „uczeń nie gra w żadną z tych gier”? Zapisz to zdarzenie symbolicznie.

b) Ilu uczniów gra dokładnie w jedną grę? Zapisz to zdarzenie symbolicznie.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Zaczynamy od części wspólnej. W diagramie Venna najpierw wpisujemy $|A \cap B| = 7$ .

Krok 2. Obszary „tylko”. Tylko w piłkę gra $18 - 7 = 11$ uczniów, to zdarzenie $A \setminus B$ . Tylko w siatkówkę $12 - 7 = 5$ , to $B \setminus A$ .

Krok 3. Suma i reszta.

$|A \cup B| = 11 + 7 + 5 = 23 = 18 + 12 - 7.$

Poza obydwoma kołami zostaje $30 - 23 = 7$ uczniów.

Klasa 30 uczniów: A - piłka nożna (18), B - siatkówka (12), część wspólna - obie gry (7).

Krok 4. Odpowiedź na a). „Nie gra w żadną” to „nie gra w piłkę i nie gra w siatkówkę”:

$A' \cap B' = (A \cup B)', \qquad |(A \cup B)'| = 7.$

Krok 5. Odpowiedź na b). „Dokładnie jedna gra” to suma dwóch rozłącznych obszarów „tylko”:

$(A \setminus B) \cup (B \setminus A), \qquad 11 + 5 = 16.$

Uwaga o pułapce. Odpowiedź $18 + 12 = 30$ sugerowałaby, że każdy w coś gra. To błąd: $7$ osób grających w obie gry policzono dwa razy, a $7$ niegrających nie policzono wcale.

Odpowiedź. a) $(A \cup B)'$ , $7$ uczniów; b) $(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ , $16$ uczniów.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →