Prawa de Morgana dla zdarzeń - przykład z talią 52 kart

Szkoła średnia średnie

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Niech $A$ - „wylosujemy kiera”, $B$ - „wylosujemy figurę” (walet, dama lub król). Oblicz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $(A \cup B)'$ dwoma sposobami: z dopełnienia sumy oraz jako $A' \cap B'$ . Opisz to zdarzenie słowami.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Liczebności. W talii są $4$ kolory po $13$ kart, a w każdym kolorze $3$ figury.

$|\Omega| = 52, \qquad |A| = 13, \qquad |B| = 4 \cdot 3 = 12, \qquad |A \cap B| = 3.$

Część wspólna to figury kier: walet, dama i król kier.

Krok 2. Sposób I - dopełnienie sumy.

$|A \cup B| = 13 + 12 - 3 = 22, \qquad |(A \cup B)'| = 52 - 22 = 30.$

Krok 3. Sposób II - iloczyn dopełnień. $A'$ to karty pozostałych trzech kolorów: $39$ kart. Wśród nich figur jest $3 \cdot 3 = 9$ . Karty z $A'$ , które nie są figurami:

$|A' \cap B'| = 39 - 9 = 30.$

Krok 4. Wniosek. Oba sposoby dają $30$ - to ilustracja prawa de Morgana:

$(A \cup B)' = A' \cap B'.$

Słownie: „nie zaszło A lub B” znaczy dokładnie tyle, co „nie zaszło A i nie zaszło B” - czyli wylosowana karta nie jest ani kierem, ani figurą. Drugie prawo de Morgana brzmi $(A \cap B)' = A' \cup B'$ : tu ma ono $52 - 3 = 49$ elementów (wszystko oprócz figur kier).

Odpowiedź. $|(A \cup B)'| = |A' \cap B'| = 30$ - tyle kart nie jest ani kierem, ani figurą.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →