Zdarzenia wykluczające się - rzut dwiema kostkami, suma oczek i dublet

Krok 1. Definicja. Zdarzenia wykluczają się (są rozłączne), gdy nie mogą zajść jednocześnie, czyli gdy ich iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym: $A \cap B = \varnothing$.

Krok 2. Wypisujemy A i B.

$A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}, \qquad B = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}.$

Krok 3. Para (A, B). Dla dubletu $(k, k)$ suma oczek to $2k$ - liczba parzysta, a $7$ jest nieparzyste. Żaden dublet nie daje sumy $7$, więc $A \cap B = \varnothing$ - wykluczają się.

Krok 4. Para (A, C). Suma $7$ jest nieparzysta, więc nie może być jednocześnie parzysta: $A \cap C = \varnothing$ - wykluczają się.

Krok 5. Para (B, C). Każdy dublet ma parzystą sumę $2k$, więc każdy element $B$ należy do $C$:

$B \subset C, \qquad B \cap C = B \neq \varnothing.$

Zdarzenia $B$ i $C$ nie wykluczają się - przeciwnie, zajście $B$ pociąga za sobą zajście $C$.

Uwaga o pułapce. Zdarzenia wykluczające się to nie to samo co przeciwne. $A$ i $C$ się wykluczają, ale nie są przeciwne: wynik $(1, 2)$ nie należy ani do $A$, ani do $C$. Przeciwne do $C$ jest zdarzenie „suma oczek jest nieparzysta” - zawiera $18$ wyników, a $A$ tylko $6$.

Odpowiedź. Wykluczają się pary $(A, B)$ i $(A, C)$. Zdarzenia $B$ i $C$ się nie wykluczają, bo $B \subset C$.