Opis słowny a zapis symboliczny zdarzeń - liczby podzielne przez 3 i 4

Szkoła średnia łatwe

Ze zbioru $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ losujemy jedną liczbę. Niech $A$ - „wylosowana liczba jest podzielna przez $3$ ”, $B$ - „wylosowana liczba jest podzielna przez $4$ ”. Zapisz za pomocą $A$ , $B$ i działań na zdarzeniach następujące zdarzenia, a potem wypisz ich elementy:

a) $C$ - „liczba jest podzielna przez $3$ i przez $4$ ”;

b) $D$ - „liczba jest podzielna przez $3$ , ale nie przez $4$ ”;

c) $E$ - „liczba nie jest podzielna ani przez $3$ , ani przez $4$ ”.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Wypisujemy A i B.

$A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}, \qquad B = \{4, 8, 12, 16, 20\}.$

Krok 2. Słowniczek. „i” to iloczyn $\cap$ , „lub” to suma $\cup$ , „ale nie” to różnica $\setminus$ , „nie” to dopełnienie $'$ .

Krok 3. Zdarzenie C. „Przez $3$ i przez $4$ ”:

$C = A \cap B = \{12\}.$

Liczba podzielna przez $3$ i przez $4$ jest podzielna przez $12$ - w zakresie do $20$ jest tylko jedna.

Krok 4. Zdarzenie D. „Przez $3$ , ale nie przez $4$ ”:

$D = A \setminus B = A \cap B' = \{3, 6, 9, 15, 18\}.$

Krok 5. Zdarzenie E. „Ani przez $3$ , ani przez $4$ ” znaczy: nie przez $3$ i nie przez $4$ :

$E = A' \cap B' = (A \cup B)'.$

Najpierw suma: $A \cup B = \{3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20\}$ - $10$ liczb. Dopełnienie to pozostałe liczby od $1$ do $20$ :

$E = \{1, 2, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19\}.$

Uwaga o pułapce. „Nie jest podzielna ani przez $3$ , ani przez $4$ ” to nie to samo co „nie jest podzielna przez $3$ i $4$ jednocześnie”, czyli $(A \cap B)'$ . Ten drugi zbiór ma $19$ elementów - wszystkie liczby oprócz $12$ .

Odpowiedź. a) $C = A \cap B = \{12\}$ ; b) $D = A \setminus B = \{3, 6, 9, 15, 18\}$ ; c) $E = A' \cap B' = (A \cup B)' = \{1, 2, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19\}$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →