Liczby czterocyfrowe z cyfr 1-6 - wariacje z powtórzeniami i bez

Krok 1. Model. Liczba to ciąg czterech cyfr, kolejność ma znaczenie ($1234 \ne 4321$). Wśród dostępnych cyfr nie ma zera, więc nie trzeba pilnować pierwszego miejsca. To wariacje $4$-elementowe ze zbioru $6$-elementowego.

Krok 2. a) Z powtórzeniami. Na każdym z $4$ miejsc dowolna z $6$ cyfr:

$$\overline{V}_6^4 = 6^4 = 1296.$$

Krok 3. b) Bez powtórzeń. Każda kolejna cyfra ma o jedną możliwość mniej:

$$V_6^4 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360.$$

Krok 4. c) Różne cyfry, liczba parzysta. Zaczynamy od miejsca z warunkiem - cyfry jedności. Musi być parzysta: $2, 4$ lub $6$, czyli $3$ możliwości. Pozostałe trzy miejsca wypełniamy różnymi cyframi spośród $5$ niewykorzystanych - to wariacja bez powtórzeń $V_5^3$:

$$3 \cdot V_5^3 = 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 180.$$

Sprawdzenie. Wśród cyfr $1$-$6$ parzyste i nieparzyste są po równo, więc dokładnie połowa z $360$ liczb o różnych cyfrach powinna być parzysta - i rzeczywiście $360 : 2 = 180$.

Odpowiedź. a) $1296$; b) $360$; c) $180$.