Przekrój osiowy walca o polu 20 i obwodzie 18 - dwa różne walce

Krok 1. Równania. Przekrój osiowy ma boki $2r$ (średnica) i $H$:

$$2r \cdot H = 20, \qquad 2(2r + H) = 18 \;\Longrightarrow\; 2r + H = 9.$$

Krok 2. Boki prostokąta. Liczby $2r$ i $H$ mają sumę $9$ i iloczyn $20$, więc są pierwiastkami równania (ze wzorów Viète’a)

$$t^2 - 9t + 20 = 0, \qquad \Delta = 81 - 80 = 1, \qquad t_1 = 4, \quad t_2 = 5.$$

Prostokąt ma boki $4$ i $5$ - ale nie wiadomo, który z nich jest średnicą.

Krok 3. Walec I: $2r = 4$, $H = 5$.

$$r = 2, \qquad V_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 5 = 20\pi.$$

Krok 4. Walec II: $2r = 5$, $H = 4$.

$$r = 2{,}5, \qquad V_2 = \pi \cdot 2{,}5^2 \cdot 4 = 25\pi.$$

Odpowiedź. Są dwa takie walce: o objętości $20\pi$ ($r = 2$, $H = 5$) i o objętości $25\pi$ ($r = 2{,}5$, $H = 4$).

Ciekawostka: oba mają to samo pole powierzchni bocznej $2\pi r H = \pi \cdot (2r \cdot H) = 20\pi$ - pole boczne walca to zawsze $\pi$ razy pole przekroju osiowego. Różnią się za to polem całkowitym: $28\pi$ i $32{,}5\pi$. Wzory zebrane są w lekcji walec.