Ile liczb od 1 do 200 dzieli się przez 4 lub przez 6? Zasada włączeń i wyłączeń

Krok 1. Liczby podzielne przez $4$. Są to $4, 8, \ldots, 200$, czyli $4 \cdot 1, 4 \cdot 2, \ldots, 4 \cdot 50$. Jest ich tyle, ile wynosi całkowita część ilorazu:

$$\left\lfloor \frac{200}{4} \right\rfloor = 50.$$

Krok 2. Liczby podzielne przez $6$.

$$\left\lfloor \frac{200}{6} \right\rfloor = 33, \qquad \text{bo } 6 \cdot 33 = 198 \le 200 < 204 = 6 \cdot 34.$$

Krok 3. Dlaczego nie wystarczy dodać $50 + 33$. Niektóre liczby dzielą się i przez $4$, i przez $6$ - np. $12$, $24$, $36$. W sumie $50 + 33$ liczymy je dwa razy. Liczba dzieli się przez $4$ i przez $6$ wtedy, gdy dzieli się przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność $\text{NWW}(4, 6) = 12$ (a nie przez $4 \cdot 6 = 24$ - liczba $12$ dzieli się przez obie, choć nie przez $24$):

$$\left\lfloor \frac{200}{12} \right\rfloor = 16, \qquad \text{bo } 12 \cdot 16 = 192.$$

Krok 4. Zasada włączeń i wyłączeń. Dodajemy oba zbiory i odejmujemy raz część wspólną, policzoną podwójnie:

$$50 + 33 - 16 = 67.$$

Krok 5. Dopełnienie. Liczb, które nie dzielą się ani przez $4$, ani przez $6$, jest

$$200 - 67 = 133.$$

Więcej o tej metodzie (także dla trzech zbiorów): zasada włączeń i wyłączeń.

Odpowiedź. a) $67$ liczb; b) $133$ liczby.