Czy wykresy y = 2|x| oraz y = |2x| są takie same?

Krok 1. Przekształcamy drugi wzór. Korzystamy z własności modułu $|ab| = |a| \cdot |b|$:

$|2x| = |2| \cdot |x| = 2|x|.$

Oba wzory opisują więc tę samą funkcję, a zatem i ten sam wykres.

Krok 2. Dlaczego tak wyszło. Dla $f(x) = |x|$ rozciągnięcie pionowe dwukrotne daje ten sam efekt co ściśnięcie poziome dwukrotne - to szczególna własność tej funkcji, a nie reguła ogólna.

Krok 3. Sprawdzamy funkcję kwadratową.

$2f(x) = 2x^2, \qquad f(2x) = (2x)^2 = 4x^2.$

Tutaj wykresy są różne: druga parabola jest dwa razy „węższa” od pierwszej.

Wniosek. Przekształcenia $k \cdot f(x)$ i $f(kx)$ to co innego. Czasem dają ten sam wykres (jak dla $|x|$ czy dla funkcji liniowej $y = x$), ale w ogólności - nie.

Odpowiedź. Tak, $y = 2|x|$ i $y = |2x|$ to ten sam wykres, bo $|2x| = 2|x|$. Dla $f(x) = x^2$ już nie: $2x^2 \ne 4x^2$.