Kapitalizacja roczna, miesięczna i ciągła: 10 000 zł na 5% przez 10 lat i liczba e

Krok 1. Kapitalizacja roczna. $10$ okresów po $5\%$:

$K = 10\,000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 16\,288{,}95$

Krok 2. Kapitalizacja miesięczna. $120$ okresów po $\frac{5\%}{12}$:

$K = 10\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}05}{12}\right)^{120} \approx 16\,470{,}09$

Krok 3. Kapitalizacja ciągła.

$K = 10\,000 \cdot e^{0{,}05 \cdot 10} = 10\,000 \cdot e^{0{,}5} \approx 16\,487{,}21$

Częstsza kapitalizacja daje więcej, ale zysk ma sufit: przejście z miesięcznej na ciągłą dodaje tylko $17{,}12$ zł. Liczba $e$ jest granicą ciągu $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ - dlatego pojawia się wtedy, gdy liczba okresów rośnie nieograniczenie.

Krok 4. Podwojenie - kapitalizacja roczna. Szukamy najmniejszego $n$, dla którego $1{,}05^n \geq 2$:

$n \geq \frac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}2$

Sprawdzenie: $1{,}05^{14} \approx 1{,}980 < 2$ i $1{,}05^{15} \approx 2{,}079 \geq 2$, więc podwojenie następuje po $15$ latach.

Krok 5. Podwojenie - kapitalizacja ciągła.

$e^{0{,}05\,t} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}05\,t = \ln 2 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 2}{0{,}05} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$

Odpowiedź. a) $16\,288{,}95$ zł (roczna), $16\,470{,}09$ zł (miesięczna), $16\,487{,}21$ zł (ciągła). b) Po $15$ latach przy kapitalizacji rocznej i po około $13{,}86$ roku przy ciągłej.

Rachunki lokat z podatkiem i ratami kredytu: procent składany, lokaty i kredyty.