Wysokość wieży z dwóch kątów wzniesienia 30° i 60°

Krok 1. Oznaczenia. Niech $d$ będzie odległością punktu $Q$ od podstawy wieży. Wtedy punkt $P$ jest oddalony od wieży o $d + 40$.

Krok 2. Dwa trójkąty prostokątne, dwa tangensy:

$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{h}{d}, \qquad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{h}{d + 40}.$

Stąd $h = d\sqrt{3}$ oraz $h = \frac{d + 40}{\sqrt{3}}$.

Krok 3. Porównujemy wyrażenia na $h$:

$d\sqrt{3} = \frac{d + 40}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad 3d = d + 40 \quad\Longrightarrow\quad d = 20.$

Krok 4. Wysokość:

$h = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64 \text{ m}.$

Krok 5. Sprawdzenie. Z punktu $P$: $\frac{20\sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \operatorname{tg} 30^\circ$. Zgadza się. Przy okazji: trójkąt $PQT$ jest równoramienny ($QT = PQ = 40$ m), bo kąt przy $T$ ma $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$ - to daje drugą, krótszą drogę: $h = 40 \cdot \sin 60^\circ = 20\sqrt{3}$.

Odpowiedź. Wieża ma wysokość $20\sqrt{3} \approx 34{,}64$ m.