Świadek i taksówki nocą - wzór Bayesa a wiarygodność zeznań

Szkoła średnia trudne

W mieście jeżdżą taksówki dwóch firm: $80\%$ z nich to taksówki zielone, a $20\%$ - niebieskie. Nocą taksówka potrąciła rowerzystę i odjechała. Świadek zeznał, że była niebieska. Badanie wykazało, że w podobnych warunkach świadek rozpoznaje kolor taksówki poprawnie w $75\%$ przypadków (i myli się w $25\%$ , niezależnie od koloru). Oblicz prawdopodobieństwo, że sprawcą była rzeczywiście taksówka niebieska.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Dane. $Z$ - taksówka była zielona, $N$ - niebieska, $M$ - świadek mówi „niebieska”.

$P(Z) = 0{,}8, \quad P(N) = 0{,}2, \qquad P(M \mid N) = 0{,}75, \quad P(M \mid Z) = 0{,}25.$

Krok 2. Drzewko.

Drzewko: Z - taksówka zielona, N - niebieska; drugi etap to kolor, który podaje świadek. Do odpowiedzi „niebieska" prowadzą dwie gałęzie.

Krok 3. Prawdopodobieństwo całkowite zeznania „niebieska”.

$P(M) = 0{,}2 \cdot 0{,}75 + 0{,}8 \cdot 0{,}25 = 0{,}15 + 0{,}2 = 0{,}35.$

Krok 4. Wzór Bayesa.

$P(N \mid M) = \frac{P(N) \cdot P(M \mid N)}{P(M)} = \frac{0{,}15}{0{,}35} = \frac{3}{7} \approx 0{,}43.$

Krok 5. Sens wyniku. Choć świadek ma rację w $75\%$ przypadków, jego zeznanie „niebieska” jest prawdziwe rzadziej niż w połowie przypadków. Na $100$ takich zdarzeń: $20$ taksówek niebieskich, z których świadek poprawnie nazwie $15$ , i $80$ zielonych, z których błędnie nazwie niebieskimi $20$ . Zeznań „niebieska” jest $35$ , prawdziwych - $15$ .

Pułapka. Odpowiedź $0{,}75$ myli wiarygodność świadka $P(M \mid N)$ z tym, o co pytamy, czyli $P(N \mid M)$ . Pomija też to, że zielonych taksówek jest cztery razy więcej.

Odpowiedź. $P(N \mid M) = \dfrac{3}{7} \approx 43\%$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →