Ile jest liczb trzycyfrowych o sumie cyfr 12? Reguła dodawania

Krok 1. Zapis. Liczba trzycyfrowa to $\overline{abc}$, gdzie cyfra setek $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$, a cyfry $b, c \in \{0, 1, \ldots, 9\}$. Szukamy trójek z warunkiem $a + b + c = 12$.

Krok 2. Rozbijamy na przypadki według cyfry setek. Gdy ustalimy $a$, zostaje znaleźć pary cyfr $(b, c)$ o sumie $s = 12 - a$. Przypadki dla różnych $a$ są rozłączne, więc na końcu je dodamy.

Krok 3. Ile par cyfr ma sumę $s$?

• Gdy $s \le 9$: cyfra $b$ może być dowolną z $0, 1, \ldots, s$, a $c = s - b$ jest wtedy cyfrą. Par jest $s + 1$. Np. dla $s = 3$: $(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)$ - cztery pary.
• Gdy $s \ge 10$: obie cyfry muszą być co najwyżej $9$, więc $b \ge s - 9$. Cyfra $b$ przebiega liczby od $s - 9$ do $9$ - jest ich $19 - s$. Np. dla $s = 11$: $b = 2, 3, \ldots, 9$ - osiem par.

Krok 4. Zestawienie.

Krok 5. Reguła dodawania.

$$8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 66.$$

Sprawdzenie drugą metodą. Podstawmy $a' = a - 1 \ge 0$, wtedy $a' + b + c = 11$. Rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych (bez ograniczenia z góry) jest $\binom{13}{2} = 78$ - to kombinacje z powtórzeniami. Odejmujemy rozwiązania z „za dużą cyfrą”: $a' \ge 9$ daje $\binom{4}{2} = 6$ rozwiązań, $b \ge 10$ daje $\binom{3}{2} = 3$, $c \ge 10$ też $3$ (dwa takie warunki naraz nie mogą zajść, bo suma przekroczyłaby $11$). Zostaje $78 - 6 - 3 - 3 = 66$.

Odpowiedź. Jest $66$ liczb trzycyfrowych o sumie cyfr $12$.