Niewiadoma w podstawie: logₓ(x + 2) > 2 - rozbicie na dwa przypadki

Krok 1. Dziedzina. Podstawa: $x > 0$ i $x \ne 1$. Liczba logarytmowana: $x + 2 > 0$, co przy $x > 0$ zachodzi zawsze. Dziedzina: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Krok 2. Dlaczego przypadki. $2 = \log_x x^2$, więc nierówność ma postać $\log_x (x + 2) > \log_x x^2$. Czy przy przejściu do liczb logarytmowanych zwrot zostaje, czy się odwraca, zależy od podstawy - a podstawą jest niewiadoma. Trzeba więc rozpatrzyć osobno $x > 1$ i $0 < x < 1$.

Krok 3. Przypadek $x > 1$ (funkcja rosnąca, zwrot zostaje):

$x + 2 > x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x - 2 < 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)(x + 1) < 0 \quad\Longrightarrow\quad -1 < x < 2.$

Razem z założeniem $x > 1$: $x \in (1, 2)$.

Krok 4. Przypadek $0 < x < 1$ (funkcja malejąca, zwrot się odwraca):

$x + 2 < x^2 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)(x + 1) > 0 \quad\Longrightarrow\quad x < -1 \ \text{ lub } \ x > 2.$

Żadna z tych liczb nie leży w przedziale $(0, 1)$ - ten przypadek nie daje rozwiązań.

Krok 5. Suma przypadków. Zostaje $x \in (1, 2)$.

Sprawdzenie. $x = 1{,}5$: $\log_{1{,}5} 3{,}5 = \dfrac{\ln 3{,}5}{\ln 1{,}5} \approx 3{,}09 > 2$. $\checkmark$$x = 0{,}5$: $\log_{0{,}5} 2{,}5 < 0 < 2$ - poza zbiorem, zgodnie z odpowiedzią. $x = 3$: $\log_3 5 \approx 1{,}46 < 2$ - też poza zbiorem.

Odpowiedź. $x \in (1, 2)$.