Wzór funkcji z osi symetrii i miejsca zerowego

Krok 1. Znajdujemy drugie miejsce zerowe. Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi symetrii, więc odległość od osi jest taka sama po obu stronach. Skoro $5$ jest oddalone od $2$ o $3$, drugie miejsce zerowe to

$x = 2 - 3 = -1.$

Formalnie: punkt symetryczny do $x$ względem prostej $x = p$ ma odciętą $2p - x$, czyli $2 \cdot 2 - 5 = -1$.

Krok 2. Postać iloczynowa.

$f(x) = a(x - 5)(x + 1).$

Krok 3. Podstawiamy punkt $(0, -5)$.

$-5 = a(0-5)(0+1) = -5a \quad\Longrightarrow\quad a = 1.$

Krok 4. Wzór i sprawdzenie.

$f(x) = (x-5)(x+1) = x^2 - 4x - 5.$

Oś symetrii: $p = \frac{4}{2} = 2$. Zgadza się z treścią.

Odpowiedź. $f(x) = x^2 - 4x - 5$.