Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego - krótsza i dłuższa

Szkoła średnia średnie

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy długości $4$ i wysokość $6$ . Oblicz długości obu rodzajów przekątnych tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny: krótsza przekątna BD₁ i dłuższa BE₁. Ich rzuty na podstawę to przekątne sześciokąta BD = a√3 i BE = 2a.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Przekątne podstawy. Sześciokąt foremny o boku $a$ dzieli się na sześć trójkątów równobocznych o boku $a$ . Ma dwa rodzaje przekątnych:

dłuższa $|BE|$ przechodzi przez środek i składa się z dwóch boków tych trójkątów: $|BE| = 2a = 8$ ;
krótsza $|BD|$ to dwie wysokości trójkąta równobocznego: $|BD| = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ .

Krok 2. Krótsza przekątna graniastosłupa. Krawędź $DD_1$ jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt $BDD_1$ ma kąt prosty przy $D$ :

$|BD_1| = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{48 + 36} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.$

Krok 3. Dłuższa przekątna graniastosłupa z trójkąta prostokątnego $BEE_1$ :

$|BE_1| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10.$

Odpowiedź. Krótsza przekątna ma długość $2\sqrt{21}$ , a dłuższa $10$ .