Dziedzina funkcji z pierwiastkiem i ułamkiem: f(x) = √(x + 2)/(x − 5)

Krok 1. Wypisujemy wszystkie warunki. We wzorze są dwie „pułapki”: pierwiastek i mianownik.

• pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna: $x + 2 \geq 0$;
• mianownik musi być różny od zera: $x - 5 \neq 0$.

Krok 2. Rozwiązujemy każdy warunek osobno.

$x + 2 \geq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \geq -2,$

$x - 5 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 5.$

Krok 3. Bierzemy część wspólną. Muszą zachodzić oba warunki naraz, więc z przedziału $\langle -2, +\infty)$ wyrzucamy punkt $5$:

$D = \langle -2, 5) \cup (5, +\infty).$

Częsty błąd. Zapisanie samego $x \geq -2$ (zapomniany mianownik) albo $x > -2$ - tutaj $x = -2$ należy do dziedziny, bo $\sqrt{0} = 0$ jest liczbą, a mianownik dla $x = -2$ wynosi $-7 \neq 0$.

Odpowiedź. $D = \langle -2, 5) \cup (5, +\infty)$.