Dane sin α + cos α = 7/5 - oblicz sin α · cos α oraz tg α + ctg α

Krok 1. Podnosimy daną równość do kwadratu:

$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{49}{25}.$

Krok 2. Jedynka trygonometryczna zamienia sumę kwadratów na $1$:

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{49}{25} \quad\Longrightarrow\quad 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{24}{25} \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha\cos\alpha = \frac{12}{25}.$

Krok 3. Sprowadzamy $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha$ do sinusa i cosinusa:

$\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}.$

Krok 4. Podstawiamy wynik z kroku 2:

$\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\frac{12}{25}} = \frac{25}{12}.$

Krok 5. Sprawdzenie. Liczby $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ mają sumę $\frac{7}{5}$ i iloczyn $\frac{12}{25}$, więc są to $\frac{3}{5}$ i $\frac{4}{5}$ (w pewnej kolejności). Wtedy $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{25}{12}$ - niezależnie od tego, która z liczb jest sinusem.

Odpowiedź. a) $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{12}{25}$, b) $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{25}{12}$.