Dany tg α = 3 - oblicz sin α i cos α

Krok 1. Zapisujemy układ. Z definicji tangensa i z jedynki trygonometrycznej:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 3, \qquad \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$

Krok 2. Podstawiamy. Z pierwszego równania $\sin\alpha = 3\cos\alpha$, więc

$9\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\alpha = \frac{1}{10}.$

Krok 3. Cosinus (dodatni, bo kąt jest ostry):

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}.$

Krok 4. Sinus:

$\sin\alpha = 3\cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}.$

Krok 5. Sprawdzenie: $\frac{90}{100} + \frac{10}{100} = 1$ oraz $\frac{3\sqrt{10}}{10} : \frac{\sqrt{10}}{10} = 3$.

Odpowiedź. $\sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$.