Uprość wyrażenie trygonometryczne z jedynką i tangensem

Krok 1. Kwadrat sumy ze wzoru skróconego mnożenia:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha.$

Krok 2. Jedynka trygonometryczna. Ponieważ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, licznik to

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Krok 3. Dzielimy przez tangens, czyli mnożymy przez odwrotność $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\cos^2\alpha.$

Krok 4. Sprawdzenie dla $\alpha = 60^\circ$. Lewa strona: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, podzielone przez $\sqrt{3}$ daje $\frac{1}{2}$. Prawa strona: $2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$. Zgadza się.

Odpowiedź. Wyrażenie jest równe $2\cos^2\alpha$.